School

Кръгова орбита - за да се движи едно тяло по кръгова орбита с определен радиус $r$, то трябва да има точно определена тангенциална скорост $v$

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Доказателство: Силата на гравитацията е центростремителна, следователно

$$F_g=G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}⟹v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

а) орбитален период - времето за изминаването на една обиколка по кръгова орбита

$$T=2\pi r\sqrt{\frac{r}{GM}}$$

б) първа космическа скорост - тангенциалната скорост, с която едно тяло трябва да се движи, за да обикаля по повърхността на сферично тяло с радиус $R$

Втора космическа скорост - скоростта, с която едно тяло трябва да се движи, за да преодолее напълно гравитационното си взаимодействие с друго тяло

$$v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

Доказателство: За да стане това, тялото трябва да има достатъчно кинетична енергия, че да спре чак в безкрайността, където и потеницалната енергия е нула

$$\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{r}=0⟹v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

а) втора космическа скорост на Земята - скоростта, нужна на едно тяло, за да напусне Земята

$$v_E=11.2\text{ km/s}$$